Изучение и исследование колебаний распределенных конструкций
Система (2.2.5.2) имеет для A1, A2, …, An нулевые решения только в том случае, когда её характеристический определитель равен нулю, т. е.
(2.2.5.3)
Определитель (2.2.5.3) даёт характеристическое уравнение 2n-го порядка относительно k.
(2.2.5.4)
из которого находятся собственные частоты системы.
При колебаниях системы около положения устойчивого равновесия псе корни уравнения (2.2.5.4) положительны.
Предположим, что корни характеристического уравнения (2.2.5.4) определены и среди них нет кратных. Обозначим их в порядке возрастания величин klt kz, kn.
Если подставить в уравнения (2.2.5.2) какой-нибудь из корней, например 
,то определитель этой системы будет равен нулю. При этом одно из уравнений будет следствием остальных. Если бы обратились в нуль и все миноры первого порядка определителя 
, то это означало бы, что корень 6г кратный. Поскольку корень 
не кратный, то минор, образованный вычеркиванием последней строки и столбца определителя не равен нулю, т. е.
(2.2.5.5)
Из уравнений (2.2.5.5) получаем следующую систему алгебраических уравнений для нахождения отношений
(2.2.5.6)
Система (2.2.5.6) неоднородная, поэтому для определения отношений амплитуд можно воспользоваться формулой Камера, которая для 
дает следующее выражение:
(2.2.5.7)
Определитель в выражении (2.2.5.7) после перестановки в нем первого столбца на место последнего о одновременной переменой знаков будет не что иное, как минор определителя 
для первого столбца и последней строки. Обозначим его через 
,тогда
(2.2.5.8)
аналогично получим:
(2.2.5.9)
из формул (2.2.5.8) и (2.2.5.9) находим
(2.2.5.10)
Из (2.2.5.10) получим
(2.2.5.11)
где
минор элемента 
го столбца последней строки.
Подставляя найденные выражения 
из (2.2.5.11) в решения (2.2.5.1), получим формулы:
(2.2.5.12)
характеризующие изменение обобщенных координат при первом главном колебании.
Из формул (2.2.5.12) следует, что ее обобщенные координаты qj(t) изменяются гармонически с одинаковой частотой
, и одинаковой фазой δ1. Амплитуды же этих колебании для каждой обобщенной координаты пропорциональны значениям миноров 
. При этом в любой фиксированный момент времени t = t0 в решении (2.2.5.12) множитель sin
=const, и положение системы, соответствующее решению (2.2.5.12), образует с точностью до множителя неизменную конфигурацию, которая определяется совокупностью значений миноров {
} и образует собственную форму колебания, соответствующего частоте k1.