Дискретизация конструкции

Разбиение конструкции (области), на конечные элементы не имеет теоретического обоснования. Использование слишком мелких элементов, хотя, как правило, и повышает точность, приводит к увеличению общей трудоемкости расчета. Поэтому лишь в тех частях конструкции, в которых можно ожидать резкого изменения параметров, следует использовать мелкую разбивку на элементы.

Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера задачи, от той точности решения, которую требуется обеспечить. Например, при расчёте стержневых конструкций область разбивается на одномерные конечные стержневые элементы, взаимосвязанные в узловых точках. При расчёте двумерных тел (пластины, оболочки) область, занятая телом, разбивается на треугольные или четырёхугольные элементы (рис.2.3.1). Если рассматривается трёхмерная область (тело), то обычно она идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоугольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников.

2.3.2 Выбор основных неизвестных и основные разновидности МКЭ

Система взаимосвязанных в узловых точках конечных элементов статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости используем метод конечных элементов в форме перемещений. В этом варианте за основные неизвестные принимаются перемещения узловых точек (линейные и угловые). Для определения этих неизвестных составляется необходимое число уравнений равновесия узловых точек. Узловые усилия взаимодействия между смежными конечными элементами, которые войдут в эти уравнения, выражаются с помощью специально построенных матриц через неизвестные узловые перемещения. В результате получим систему уравнений для определения основных неизвестных – узловых перемещений.

В варианте метода сил за основные неизвестные принимаются узловые усилия взаимодействия между элементами в узловых точках. Для их определения составляются уравнения совместности перемещений в узловых точках. Компоненты узловых перемещений затем выражаются через узловые усилия. В результате получаем систему алгебраических или дифференциальных уравнений (для задач нестационарной динамики) для определения основных неизвестных — узловых усилий.

Как правило, порядок системы уравнений в методе сил оказывается выше, чем в методе перемещений. В этом кроется одна из основных причин того, что сегодня при расчете сооружений преимущественно используется МКЭ в варианте метода перемещений. Этому варианту МКЭ ниже будет уделено основное внимание.

Однако следует заметить, что в последние годы начинает завоевывать популярность и смешанный метод, в котором часть неизвестных является перемещениями, а другая часть — узловыми усилиями взаимодействия между смежными конечными элементами.

После выбора узловых неизвестных строится интерполирующий полином, которым приблизительно выражается закон изменения искомой функции по объёму конечного элемента через значения его узловых неизвестных. Для обеспечения условий сходимости МКЭ необходимо обеспечить непрерывность искомой функции и её производных до m-1- порядка включительно во всей области V, где (2m – порядок дифференциального уравнения, которым описывается поведение искомой функции в соответствующей теории. Так, дифференциальное уравнение изгиба балки имеет четвёртый порядок (2m = 4). Следовательно, при выборе интерполирующего полинома балочного конечного элемента необходимо позаботиться о соблюдении непрерывности функции прогиба и только первой её производной для всей балки, состоящей из совокупности балочных конечных элементов, соединённых между собой в узловых точках.

Если законы перемещений известны, то, используя зависимости строительной механики или теории упругости, можно найти законы изменения напряжений в пределах элемента. В результате напряжение в произвольной точке конечного элемента выражаются через основные неизвестные – перемещение узловых точек элемента. Заменив напряжения, действующие на гранях каждого i – го элемента, статически эквивалентными им сосредоточенными усилиями, приложенными к вершинам, можно установить связь между узловыми усилиями взаимодействия R(i) и узловыми перемещениями q(i) i- го конечного элемента

R(i) = K(i)q(i), (2.3.4.1)

где R(i) = {R1, R2, …, Rr}(i) – вектор, имеющим компонентами узловые усилия взаимодействия i – го элемента со смежными элементами; q(i) = {q1, q2, …, qr}(i) – вектор, имеющий компонентами узловые перемещения i - го элемента; K(i) – квадратная матрица жесткости i - го элемента; r – число неизвестных узловых перемещений конечного элемента (равное числу степеней свободы элемента).